介绍一篇路径采样的论文，作者Wenzel Jakob是PBRT的作者之一，他2016年获得Eurographics Young Researcher Award多半是因为这篇论文，该奖项每年仅有2个名额，用于奖励过去在相关领域做出重大贡献的人（敬礼）。
Manifold Exploration: A Markov Chain Monte Carlo Technique for Rendering Scenes with Difficult Specular Transport，以及后续的相关论文：The Natural-Constraint Representation of the Path Space for Efficient Light Transport Simulation
先总结一下，这两篇论文的本质是将传统的完全随机的路径采样转变为使用微分几何确定性地计算出一条“相似”路径，这种思路在路径采样中算是一种小小的变革吧，表现在两个方面：
- 从路径采样方法来讲，传统的无论是基于MC的（BD）PT还是基于MCMC的MLT，PSSMLT或MMLT等，本质上每条路径的采样都是使用Ray Tracing的方式从每个顶点的BRDF函数中对方向进行随机地（randomly）采样并连接起来形成一个路径，而Manifold Exploration是确定性地（deterministic）计算出一条路径。
- 从光照积分公式方面看，它从欧几里得空间转变到了流形上进行研究。
传统的路径采样是完全随机的，这里的随机可以理解为采样器不会考虑任何关于场景的几何特征而“盲目的”在路径空间行走；因此，对于那些存在于很小的区域，但是被积函数的贡献值非常大的“困难”路径，往往会由于采样概率非常低而使其估计不精确；虽然MLT算法引入了路径之间的相关性，但是本质上它只是通过限制一条突变路径各个顶点的取值在欧几里得空间的某个范围内，其使用的路径采样（例如双向路径采样）仍然是盲目的，其效率仍然非常低；然而MLT算法提供了一种绝对的优势，即一旦找到一条重要路径，我们可以更小心地探索该路径附近也可能具有同样重要性的路径。
很显然，要想有效地探索这些困难路径，我们必须了解并利用路径的一些局部几何信息，这是前面流形探索以及本节半矢量空间光照传输的核心内容。然而，要想让路径采样器（这里的路径采样器是指传统的根据光线追踪的路径采样，它几乎也是目前我们介绍的以及离线渲染中使用的唯一的路径采样器）直接能够感知整个场景中的几何信息显然是不可能的，要知道，光线追踪依赖于首先随机选择一个方向，然后对该方向使用光线投射来寻找其与表面的交点并取得几何数据，而不是先根据某种场景的几何特征选择一个方向。
这种不可能事先知道场景几何特征的采样方法，使得我们转向另一种思路：即首先通过传统的路径追踪得到一条随机的合法路径，然后提取出该路径的几何特征，进而利用这些几何特征来寻找一条该路径离开附近的路径。这种思路依赖于一条已知路径，显然它不能成为一种独立的路径采样方法，然而它却正好可以用在MLT算法中，因为MLT算法寻找一条相对于当前路径的突变路径。然而需要注意的是，局部特征的表述的精确性往往被限定在很小的局部范围（如前面镜面流形表述所描述的那样），因此这些算法必须很好地保证全局遍历性的要求。
那么，应该怎样提取一条合法路径的局部几何信息呢，费马定理提供了答案。1657年，费马提出著名的最小时间原理，即自然界的行为永远以路程最短为原则。按照这个原理，光永远是选这样一条路走，以使它在最短时间内抵达目的地，这就是费马定理（Fermat principle）。费马定理描述了光照传输的特征，如果已知一条合法的光线路径，它当然满足费马原理，因此可以从中提取与光照交互有关表面的几何信息。
然而费马原理是全局的，它用于描述一条完全的路径，直接推导出这种全路径与多个表面交互的关系是非常困难的。幸运的是，局部的反射定律和折射定理与费马定理是完全等效的，局部的反射和折射定理提供了路径顶点及方向关于这些顶点局部几何信息（如位置，法线以及这些量的导数）的关系，从而我们能够从一条已知路径推导出该路径的局部几何信息。
然后，已知了一条路径的局部几何信息了，该如何利用它们来产生一条“相似”路径呢，这时牛顿方法提供了答案。我们已知的顶点局部信息是关于对应表面在该顶点处的位置和法线关于局部坐标系的导数，导数能够被运用于一阶泰勒近似中用来表述局部的函数分布，然而这种近似不能直接用来作为采样值，我们需要精确值，而牛顿方法正式利用一阶导数用迭代的方式逼近某个设定的真实函数值。
于是我们能够通过一条已知路径获得一条“相似”或“近邻”路径，这条路径在MLT算法中具有较高的接受率，因为它探索了路径的局部几何特征。更为重要的是，上述的采样过程是确定性的：给定一条当前路径，我们没有依赖任何随机过程，而是使用微分几何相关的知识直接计算出一条“相似”路径，这种由随机向确定性的转变，提升了MLT算法的效率。
这里提到两篇论文Manifold Exploration和Half Vector Light Transport正式使用了上述思路，它们都是借助费马定理将一条已知路径和其对应的局部几何信息建立起了联系，然后利用微分几何以及牛顿迭代法确定性地计算一条”相似“路径，只不过这里Manifold Exploration通过降维的方式将路径空间转变到镜面流形上，而Half Vector Light Transport将其转换到半矢量空间。
其实就是什么意思呢，如上视频所示，给定一条初始路径，它能够不需要任何随机过程直接计算出所有满足初始路径类似的几何配置，并自动满足每个顶点处反射折射定理的相邻相似路径，而这正是MLT算法非常需要的。